Sisteme liniare

Mai toate tehnicile DSP se bazeaza pe o strategie de tip "divide si cucereste" numita superpozitie. Semnalul de procesat este divizat in componente simple, fiecare componenta fiind procesta separat, rezultatele fiind apoi reunite. Acest mod de abordare are o uimitoare putere de a transforma o problema complicata in mai multe, insa mai usoare. Superpozitia poate fi folosita numai in sisteme liniare. In esenta un sistem este liniar daca

 R(x1+x2)  = R(x1)+R(x2),

unde R(x) este raspunsul sistemului la un semnal x. Din fericire, in cele mai multe aplicatii din stiinta si inginerie se intalnesc sisteme liniare.

Care sunt cerintele pe care trebuie sa le indeplineasca un sistem pentru a fi liniar?

Un sistem este liniar daca satisface urmatoarele proprietati matematice:

  1. omogeneitate
    R(kx) = kR(x)
  2. aditivitate 
    R(x1+x2)  = R(x1)+R(x2)
  3. invarianta temporala (shift invariance)
    y(t) = R(x(t)) => R(x(t+s)) = y(t+s) oricare ar fi s,
    adica daca y(t) este functia matematica ce descrie raspunsul sistemului la semnalul x(t), atunci aplicarea aceluiasi semnal, dar la alt moment de timp, x(t+s), va determina acelasi semnal de raspuns decalat in timp la fel ca si semnalul aplicat, y(t+s).

In termeni verbali, invarianta in timp a unui sistem presupune nemodificarea proprietatilor sale (in esenta a functiei de raspuns) cu trecerea timpului. Sistemele electronice isi modifica isi modifica proprietatile datorita unor fenomele legate de exemplu de dependenta parametrilor dispozitivelor cu temperatura sau cu timpul (uzura lor, in esenta). Pentru semnale discrete locul timpului este luat de numarul esantionului n. Astfel incat invarianta in timp a sistemului se scrie:
  y(n) = R(x(n)) => R(x(n+m)) = y(n+m) oricare ar fi m.

Sisteme static liniare

Sisteme static liniare sunt acele sisteme la care rapunsul la semnale constante (DC) sau statice (in general pentru semnale foarte lent variabile in timp) inseamna semnalul de intrare multiplicat cu o constanta. Adica
   y = kx.

Exemple de sisteme static liniare sunt:

  1. Rezistorul. Daca privim tensinea la capetele rezitorului, y, ca marime de iesire si curentul ce trece prin rezistor, x, ca marime de intrare atunci legea Lui Ohm dicteaza:
    y = Rx.
  2. Resortul slab de constanta elastica k. Daca consideram forta ce intinde resortul ca marime de intrare X si elongatia Y ca marime de iesire, atunci legea Hooke impune:
    Y = X/k.

Evident, toate sistemele liniare sunt si static liniare. Reciproca nu este in general adevarata. Adica exista sisteme care sunt static liniare dar nu sunt liniare in general. Spre exemplu, la frecvente mari, un rezistor real prezinta o componenta capacitiva parazita care face ca rezisitorul sa capete un soi de memorie a tensiunilor (din punct de vedere practic, un condensator se opune variatiei tensiunii la bornele sale, in timp ce o inductanta se opune variatiei curentului ce trece prin ea). In aceasta situatie caracteristica I-V (curent - tensiune) a rezitorului real se transforma dintr-o dreapta intr-o elipsa atunci cand este explorata folosind semnale de frecventa mare.

In contrast, despre sistemele a caror comportare nu depinde de faptul ca semnalele aplicate sunt statice sau nu se spune ca nu au memorie (memoryless).

Exemple de sisteme static neliniare sunt:

  1. Caracteristica I-V a diodei redresoare
  2. Caracteristica H-B a unui material magnetic care prezinta fenomenul de histerizis.
  3. Caracteristica de transfer a unui circuit Trigger Schmidt. Acest circuit poate fi privit ca o celula elementara de memorie atunci cand semnalul de intrare este intre cele doua praguri.

    O importanta caracteristica a sistemelor liniare se refera la modul cum se comporta la semnale sinusoidale, o proprietate pe care o vom numi fidelitate sinusoidala: Daca semnalul de intrare al unui sistem liniar este o unda sinusoidala, semnalul de la iesire va fi tot o unda sinusoidala avand exact aceeasi frecventa cu cel de intrare. Sinusoidele sunt singurele forme de unda care au aceasta proprietate. De exemplu, nu exista nici un motiv ca un semnal dreptunghiular ce intra intr-un sistem liniar sa produca la iesire tot o unda dreptunghiulare. Cu toate ca o sinusoida la intrare garanteaza o sinusoida la iesire, cele doua unde pot fi diferi ca amplitudine si faza.

Exemple de sisteme liniare

Propagarea undelor precum undele sonore sau electromagnetice

Circuite electrice compuse din rezistori, capacitati si inductoare

Circuite electronice precum amplificatoare sau filtre.

Miscarea mecanica in prezenta frecarii a punctelor materiale ce interactioneaza direct sau prin intermediul resorturilor

Sisteme descrise de ecuatii diferentiale liniare precum retelele de rezitoare capacitati si inductante

Multiplicarea cu o constanta, adica, amplificarea sau atenuarea semnalului

Schimbarile de semnal precum ecourile, rezonanta sau imagini sterse

Sistemul unitate unde semnalul de iesire este identic cu semnalul de intrare

Sistemul nul la care iesirea este totdeauna zero, indiferent de semnalul de intrare

Diferentierea si integrarea si operatiile analoge precum diferentele de ordinul intai si mediile alunecatoare pentru semnale discrete

Mici perturbatii in sisteme neliniare

Convolutia, o operatie matematica in care fiecare valoare a semnalului de iesire este o suma de valori ale semnalului de intrare multiplicate de un set de coeficienti de pondere

Recursia, o tehnica similara convolutiei, cu deosebirea ca valori calculate anterior ale semnalului de iesire sunt folosite pe langa valorile semnalului de intrare

Example de sisteme neliniare

Sisteme care nu prezinta liniaritate statica, spre exemplu dependenta puterii disipate de un rezistor de tensiunea aplicata P = U2R, energia radiata de un corp cald R = kT4, intensitatea luminii transmise printr-un material translucid de grosime d, I = ed.

Sisteme care nu prezinta fidelitate sinusoidala, precum circuitele electronice pentru: detectie de varf, ridicare la patrat, dublare de frecventa, etc.

Distorsiunile electronice comune, precum agatarile (clipping), distorsiunile de incrucisare (crossover distortion) si de limitare

Multiplicarea unui semnal cu alt semnal, folosit la modulatia in aplitudine si buclele automate de control a castigului

Fenomene histeretice (care prezinta fenomenul de histerezis), precum densitatea de flux magnetic in functie intensitatea magnetica in matereale precum fierul, deformarile mecanice in cauciucul vulcanizat. Saturarea ce apare in amplificatoarele electronice si transformatoare la nivele mari ale semnalelor

Sisteme cu prag, spre exemplu, portile logice, circutul Trigger Schmidt, sau vibratiile seismice care sunt suficient de puternice pentru a pulveriza rocile pe care le traverseaza

Superpositia: Fundamentul PDS

Atunci cand avem de a face cu sisteme liniare, singura modalitate in care semnalele pot fi combinate este prin scalare (multiplicarea semnalelor cu constante) urmata de adunare. Spre exemplu, un semnal nu poate fi multiplicat de un alt semnal. Figura de mai jos prezinta un exempu: trei semnal sunt adunate pentru a forma un al patrulea semnal. Acest proces de combinare a semnalelor prin scalare si adunare se numeste sinteza. Descompunerea este operatia inversa sintezei, in care un singur semnal este descompus in doua sau mai multe component aditive. Aceasta este mult mai complicat decat sinteza, deoarece exista o infinitate de posibilitati de a le descompune. Spre exemplu, numerele 15 si 40 pot fi sintetizate (adunate) intr-un singur numar 40. Din contra, numarul 40 poate fi descompus in: 1+39, 2+38, -30.5+60+10.5. Ajungem acum la esenta DSP: superpozitia, strategia universala pentru intelegerea modului in care semnalele si sistemele pot fi analizate. Fie semnalul de intrare

    Ilustrare a sintezei si descompunerii semnalelor. In sinteza, doua sau mai multe semnale sunt adunate pentru a forma un altul. Descompunerea este procesul opus, care descompune un semnal in doua sau mai multe semnale componente aditive.